Algèbre linéaire Exemples

$p - 3 q = 4 s$ , $2 p = s + 5 r$

Étape 1

Soustrayez $4 s$ des deux côtés de l’équation.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p = s + 5 r$

Étape 2

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $s$ des deux côtés de l’équation.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s = 5 r$

Étape 2.2

Soustrayez $5 r$ des deux côtés de l’équation.

$p - 3 q - 4 s = 0, 2 p - s - 5 r = 0$

Étape 3

Écrivez le système d’équations sous forme de matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 & 0 & - 5 & - 1 & 0 \end{array}]$

Étape 4

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 4.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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Étape 4.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot - 3 & - 5 - 2 \cdot 0 & - 1 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Étape 4.1.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 6 & - 5 & 7 & 0 \end{array}]$

Étape 4.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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Étape 4.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{6}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ \frac{0}{6} & \frac{6}{6} & \frac{- 5}{6} & \frac{7}{6} & \frac{0}{6} \end{array}]$

Étape 4.2.2

Simplifiez $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

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Étape 4.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 (- \frac{5}{6}) & - 4 + 3 (\frac{7}{6}) & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Étape 4.3.2

Simplifiez $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{5}{2} & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{5}{6} & \frac{7}{6} & 0 \end{array}]$

Étape 5

Utilisez la matrice de résultat pour déclarer les solutions finales au système d’équations.

$p - \frac{5 r}{2} - \frac{s}{2} = 0$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $p$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $\frac{5 r}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$p - \frac{s}{2} = \frac{5 r}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Étape 6.2

Ajoutez $\frac{s}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q - \frac{5 r}{6} + \frac{7 s}{6} = 0$

Étape 7

Déplacez tous les termes ne contenant pas $q$ du côté droit de l’équation.

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Étape 7.1

Ajoutez $\frac{5 r}{6}$ aux deux côtés de l’équation.

$q + \frac{7 s}{6} = \frac{5 r}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Étape 7.2

Soustrayez $\frac{7 s}{6}$ des deux côtés de l’équation.

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

$q = \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}$

$p = \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}$

Étape 8

La solution est l’ensemble des paires ordonnées qui rend le système vrai.

$(\frac{5 r}{2} + \frac{s}{2}, \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6}, r, s)$

Étape 9

Décomposez un vecteur solution en réorganisant chaque équation représentée dans la matrice augmentée en ligne réduite en résolvant pour la variable dépendante sur chaque ligne pour obtenir l’égalité vectorielle.

$X = [\begin{array}{c} p \\ q \\ r \\ s \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5 r}{2} + \frac{s}{2} \\ \frac{5 r}{6} - \frac{7 s}{6} \\ r \\ s \end{array}]$